Ứng Dụng Công Thức Cấp Số Nhân

Công thức cấp số nhân

Cấp số nhân là gì?

1. Định nghĩa và các ký hiệu cơ bản
Số hạng đầu tiên được ký hiệu là: u1
Công bội (số không đổi dùng để nhân) được ký hiệu là: q
Số hạng tổng quát đứng ở vị trí thứ n được ký hiệu là: un
Công thức cấp số nhân truy hồi: un = u(n-1) * q (với n >= 2). Nghĩa là nếu biết một số hạng, bạn chỉ cần nhân thêm với công bội q sẽ ra số hạng đứng ngay sau nó.

2. Các công thức cốt lõi cần nhớ
Khi giải bài tập về cấp số nhân, có hai công thức quan trọng nhất bạn bắt buộc phải thuộc lòng:
Công thức số hạng tổng quát: Dùng để tìm một số hạng bất kỳ ở vị trí thứ n mà không cần tính thủ công từng số trước đó.
Công thức: un = u1 * q^(n – 1)
Ví dụ: Số hạng thứ 5 sẽ bằng u5 = u1 * q^4.
Công thức tính tổng n số hạng đầu tiên (Sn): Dùng để cộng nhanh một chuỗi số từ u1 đến un.
Công thức: Sn = (u1 * (1 – q^n)) / (1 – q) (với điều kiện công bội q khác 1).
3. Ví dụ minh họa cụ thể
Cho một cấp số nhân có số hạng đầu tiên u1 = 3 và công bội q = 2.
Các số hạng đầu tiên của dãy số này sẽ lần lượt là:
Số hạng thứ nhất: u1 = 3
Số hạng thứ hai: u2 = 3 * 2 = 6
Số hạng thứ ba: u3 = 6 * 2 = 12
Số hạng thứ tư: u4 = 12 * 2 = 24
Dãy số sẽ có dạng: 3, 6, 12, 24, 48, 96, …
Áp dụng công thức tìm nhanh số hạng thứ 6 (u6):
Theo công thức tổng quát: u6 = u1 * q^5 = 3 * 2^5 = 3 * 32 = 96. (Kết quả hoàn toàn trùng khớp với việc nhân thủ công từng số hạng).

Tính chất của cấp số nhân

Tính chất các số hạng kề nhau

Đây là tính chất quan trọng nhất và thường xuyên xuất hiện trong các đề thi.
Nội dung: Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) luôn bằng tích của hai số hạng kề bên nó.
Công thức bằng ký tự: u(k)^2 = u(k-1) * u(k+1) (với k >= 2)
Cách viết khác (lấy căn bậc hai): Trị tuyệt đối của u(k) = căn bậc hai của [ u(k-1) * u(k+1) ] Ví dụ: Cho ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân là 4, x, 16. Tìm x.
Áp dụng tính chất trên, ta có: x^2 = 4 * 16 = 64.
Suy ra: x = 8 hoặc x = -8.

Tính chất của các số hạng cách đều

Tính chất này giúp bạn liên kết các số hạng nằm ở các vị trí đối xứng nhau trong một dãy số hữu hạn.
Nội dung: Nếu một cấp số nhân có hữu hạn số hạng, thì tích của hai số hạng cách đều hai đầu (số hạng đầu và số hạng cuối) luôn bằng nhau.
Công thức bằng ký tự: u1 * un = u2 * u(n-1) = u3 * u(n-2) = … = uk * u(n-k+1)
Ví dụ: Một cấp số nhân hữu hạn có 6 số hạng là: 2, 6, 18, 54, 162, 486.
Tích số hạng đầu và cuối: u1 * u6 = 2 * 486 = 972
Tích cặp số tiếp theo: u2 * u5 = 6 * 162 = 972
Tích cặp số ở giữa: u3 * u4 = 18 * 54 = 972
Tất cả các tích này đều cho ra một kết quả đồng nhất là 972.

Tính chất biến thiên của dãy số

Tùy thuộc vào giá trị của số hạng đầu u1 và công bội q, cấp số nhân sẽ có những xu hướng biến thiên khác nhau:
Dãy số tăng: Nếu u1 > 0 và q > 1 (Ví dụ: 2, 4, 8, 16, …).
Dãy số giảm: Nếu u1 > 0 và 0 < q < 1 (Ví dụ: 16, 8, 4, 2, …).
Dãy số không đổi: Nếu q = 1, tất cả các số hạng đều bằng nhau (Ví dụ: 5, 5, 5, 5, …).
Dãy số đan dấu (không tăng không giảm): Nếu q < 0, các số hạng sẽ đổi dấu liên tục giữa âm và dương (Ví dụ với q = -2: 3, -6, 12, -24, 48, …).
Dãy số bằng 0: Nếu q = 0 hoặc u1 = 0, dãy số sẽ biến thành chuỗi các số 0 kể từ số hạng bị ảnh hưởng.

Các công thức cấp số nhân quan trọng

1. Các công thức cốt lõi cần nhớ

Công thức truy hồi: un = u(n-1) * q
Mục đích: Dùng để tìm số hạng ngay sau khi đã biết số hạng liền trước và công bội q (với n >= 2).
Công thức số hạng tổng quát: un = u1 * q^(n – 1)
Mục đích: Dùng để tìm một số hạng bất kỳ ở vị trí thứ n mà không cần tính toán các số hạng đứng trước.
Tính chất trung bình nhân: u(k)^2 = u(k-1) * u(k+1)
Mục đích: Bình phương của một số hạng bằng tích hai số hạng kề bên. Dùng để tìm x khi biết ba số hạng liên tiếp (với k >= 2).
Công thức tính tổng n số hạng đầu tiên: Sn = (u1 * (1 – q^n)) / (1 – q)
Mục đích: Dùng để tính tổng nhanh một chuỗi số hạng từ u1 đến un (điều kiện là công bội q khác 1).
Công thức tổng cấp số nhân lùi vô hạn: S = u1 / (1 – q)
Mục đích: Dùng để tính tổng của một dãy số nhân kéo dài vô tận có trị tuyệt đối của q nhỏ hơn 1 (tức là -1 < q < 1).
2. Ví dụ áp dụng nhanh công thức
Cho cấp số nhân có u1 = 5 và q = 3.
Tìm số hạng thứ 4 (u4):
Áp dụng công thức số hạng tổng quát: u4 = u1 * q^3
Tính toán cụ thể: u4 = 5 * 3^3 = 5 * 27 = 135.
Tính tổng của 4 số hạng đầu tiên (S4):
Áp dụng công thức tính tổng: S4 = (u1 * (1 – q^4)) / (1 – q)
Tính toán cụ thể: S4 = (5 * (1 – 3^4)) / (1 – 3) = (5 * (1 – 81)) / (-2) = (5 * -80) / -2 = 200.

10 Bài toán thực tế lớp 12 ứng dụng công thức cấp số nhân

1. Bài toán tăng trưởng dân số
Đề bài: Dân số của một tỉnh vào đầu năm 2026 là 2 triệu người. Biết rằng tỷ lệ tăng dân số hàng năm của tỉnh đó là 1.2% và không đổi. Hỏi đến đầu năm 2031, dân số của tỉnh đó ước tính là bao nhiêu người?
Lời giải:
Dân số các năm lập thành một cấp số nhân có số hạng đầu u1 = 2000000 và công bội q = 1 + 1.2% = 1.012.
Từ đầu năm 2026 đến đầu năm 2031 là tròn 5 năm, tức là ta cần tìm số hạng thứ 6 (u6).
Áp dụng công thức số hạng tổng quát: u6 = u1 * q^5
Tính toán: u6 = 2000000 * 1.012^5 = 2122841 người (làm tròn đến hàng đơn vị).
Đáp số: 2,122,841 người.

2. Bài toán lãi kép gửi tiết kiệm ngân hàng
Đề bài: Một người gửi 100 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất định kỳ là 6.5% một năm theo hình thức lãi kép (tiền lãi mỗi năm được cộng dồn vào vốn để tính lãi cho năm sau). Hỏi sau 4 năm gửi, người đó rút ra được tổng cộng bao nhiêu tiền cả gốc lẫn lãi?
Lời giải:
Số tiền sau mỗi năm lập thành một cấp số nhân có số hạng đầu u1 = 100000000 * 1.065 (số tiền sau năm thứ nhất) và công bội q = 1.065.
Để tính nhanh số tiền sau 4 năm, ta áp dụng trực tiếp công thức lãi kép: T = Số tiền gốc * (1 + lãi suất)^n
Tính toán: T = 100000000 * 1.065^4 = 128646635 đồng (làm tròn đến hàng đơn vị).
Đáp số: 128,646,635 đồng.
3. Bài toán nuôi cấy vi khuẩn phòng thí nghiệm
Đề bài: Trong một phòng thí nghiệm sinh học, người ta nuôi cấy một loại vi khuẩn mà cứ sau 20 phút thì số lượng của chúng lại tăng lên gấp đôi. Ban đầu có 50 con vi khuẩn. Hỏi sau 2 giờ, tổng số lượng vi khuẩn có trong đĩa nuôi cấy là bao nhiêu?
Lời giải:
Đổi 2 giờ = 120 phút. Số lần phân chia của vi khuẩn là: 120 / 20 = 6 lần.
Số lượng vi khuẩn sau các lần phân chia lập thành một cấp số nhân có u1 = 50 (ban đầu) và công bội q = 2.
Số lượng vi khuẩn sau 6 lần phân chia tương ứng với số hạng thứ 7 (u7).
Áp dụng công thức: u7 = u1 * q^6
Tính toán: u7 = 50 * 2^6 = 50 * 64 = 3200 con vi khuẩn.
Đáp số: 3,200 con vi khuẩn.
4. Bài toán mua xe trả góp (khấu hao tài sản)
Đề bài: Anh Quang mua một chiếc xe máy mới với giá 40 triệu đồng. Cứ sau mỗi năm sử dụng, giá trị của chiếc xe lại bị giảm đi 10% so với giá trị của năm trước đó. Hỏi sau 5 năm sử dụng, giá trị của chiếc xe máy đó còn lại khoảng bao nhiêu tiền?
Lời giải:
Giá trị của xe sau mỗi năm lập thành một cấp số nhân có số hạng đầu u1 = 40000000 (giá trị ban đầu) và công bội q = 1 – 10% = 0.9.
Giá trị xe sau 5 năm sử dụng tương ứng với số hạng thứ 6 (u6).
Áp dụng công thức: u6 = u1 * q^5
Tính toán: u6 = 40000000 * 0.9^5 = 40000000 * 0.59049 = 23619600 đồng.
Đáp số: 23,619,600 đồng.
5. Bài toán liều lượng thuốc trong y tế
Đề bài: Một bệnh nhân được tiêm một liều thuốc nồng độ 80 miligam vào máu. Cứ sau mỗi giờ, cơ thể lại đào thải và làm giảm đi 25% lượng thuốc còn lại trong máu của giờ trước đó. Tính lượng thuốc còn lại trong máu của bệnh nhân sau 3 giờ tiêm.
Lời giải:
Lượng thuốc còn lại sau mỗi giờ lập thành một cấp số nhân có u1 = 80 (lượng ban đầu) và công bội q = 1 – 25% = 0.75.
Lượng thuốc còn lại sau 3 giờ tương ứng với số hạng thứ 4 (u4).
Áp dụng công thức: u4 = u1 * q^3
Tính toán: u4 = 80 * 0.75^3 = 80 * 0.421875 = 33.75 miligam.
Đáp số: 33.75 miligam.
6. Bài toán chuỗi quyên góp từ thiện
Đề bài: Trong một chương trình kêu gọi quỹ từ thiện, ngày đầu tiên ban tổ chức nhận được 5 triệu đồng. Kể từ ngày thứ hai, nhờ sự lan tỏa trên mạng xã hội, số tiền quyên góp nhận được mỗi ngày đều tăng gấp 1.5 lần so với ngày liền trước đó. Tính tổng số tiền quỹ nhận được sau 7 ngày kêu gọi.
Lời giải:
Số tiền nhận được mỗi ngày lập thành một cấp số nhân có u1 = 5000000 và công bội q = 1.5.
Để tính tổng số tiền sau 7 ngày, ta áp dụng công thức tính tổng 7 số hạng đầu tiên (S7).
Công thức: S7 = (u1 * (1 – q^7)) / (1 – q)
Tính toán: S7 = (5000000 * (1 – 1.5^7)) / (1 – 1.5) = (5000000 * (1 – 17.0859375)) / (-0.5) = 160859375 đồng.
Đáp số: 160,859,375 đồng.
7. Bài toán lọc ánh sáng qua kính xuyên thấu
Đề bài: Khi một tia sáng đi qua một tấm kính mờ đặc biệt, cường độ ánh sáng của nó bị giảm đi 15% so với ban đầu. Người ta xếp chồng 6 tấm kính mờ như vậy lại với nhau. Hỏi sau khi đi qua cả 6 tấm kính, cường độ ánh sáng còn lại bao nhiêu phần trăm so với cường độ gốc ban đầu?
Lời giải:
Cường độ ánh sáng ban đầu được coi là 100%. Sau mỗi tấm kính, cường độ lập thành cấp số nhân có công bội q = 1 – 15% = 0.85.
Sau khi đi qua 6 tấm kính, cường độ ánh sáng tương ứng với việc nhân công bội q vào cường độ gốc 6 lần: C = 100% * 0.85^6.
Tính toán: 0.85^6 xấp xỉ bằng 0.3771, tức là bằng 37.71%.
Đáp số: Khoảng 37.71% so với ban đầu.
8. Bài toán khai thác mỏ tài nguyên tự nhiên
Đề bài: Một công ty năng lượng dự kiến khai thác dầu mỏ tại một giếng khoan mới. Trong năm đầu tiên, họ khai thác được 10000 tấn dầu. Do trữ lượng có hạn, kể từ năm thứ hai trở đi, sản lượng khai thác được mỗi năm đều giảm đi 8% so với năm trước đó. Tính tổng sản lượng dầu công ty khai thác được sau 10 năm.
Lời giải:
Sản lượng dầu khai thác hàng năm lập thành một cấp số nhân có u1 = 10000 và công bội q = 1 – 8% = 0.92.
Tổng sản lượng dầu sau 10 năm chính là tổng của 10 số hạng đầu tiên (S10).
Công thức: S10 = (u1 * (1 – q^10)) / (1 – q)
Tính toán: S10 = (10000 * (1 – 0.92^10)) / (1 – 0.92) = (10000 * (1 – 0.434388)) / 0.08 = 70701.5 tấn (làm tròn).
Đáp số: 70,701.5 tấn.
9. Bài toán mô hình đa cấp chia sẻ thông tin
Đề bài: Thầy Cường gửi một tin nhắn học tập bổ ích cho 3 học sinh đầu tiên vào lúc 6 giờ sáng và yêu cầu mỗi bạn gửi tiếp tin nhắn này cho 3 người khác sau đó 5 phút, quá trình cứ thế lặp lại liên tục. Hỏi đến đúng 6 giờ 20 phút sáng, tổng cộng có bao nhiêu học sinh nhận được tin nhắn này (tính cả 3 bạn đầu tiên)?
Lời giải:
Chu kỳ gửi tin nhắn là cứ 5 phút một lần. Từ 6 giờ đến 6 giờ 20 phút có 4 chu kỳ gửi (20 / 5 = 4).
Chu kỳ 1 (6h05): có 3 bạn nhận được (u1 = 3).
Chu kỳ 2 (6h10): mỗi bạn gửi cho 3 người mới, số người mới nhận là 3 * 3 = 9.
Số lượng người mới nhận tin nhắn ở mỗi chu kỳ lập thành cấp số nhân có u1 = 3 và q = 3.
Tổng số học sinh nhận được tin nhắn sau 4 chu kỳ chính là tổng S4.
Công thức: S4 = (3 * (1 – 3^4)) / (1 – 3) = (3 * (1 – 81)) / (-2) = (3 * -80) / -2 = 120 học sinh.
Đáp số: 120 học sinh.
10. Bài toán quả bóng nảy (Cấp số nhân lùi vô hạn)
Đề bài: Một quả bóng được thả rơi tự do từ độ cao 10 mét xuống mặt đất. Mỗi lần chạm đất, quả bóng lại nảy lên một độ cao bằng 3/4 độ cao của lần rơi ngay trước đó. Giả sử quả bóng cứ nảy lên và rơi xuống liên tục như vậy cho đến khi dừng hẳn. Tính tổng quãng đường quả bóng đã di chuyển.
Lời giải:
Quá trình di chuyển của quả bóng gồm hai phần: Quãng đường rơi xuống và quãng đường nảy lên.
Quãng đường rơi xuống gồm các độ cao: 10, 10 * (3/4), 10 * (3/4)^2, … Đây là một cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu v1 = 10 và công bội q = 3/4.
Tổng quãng đường rơi xuống là: S_roi = v1 / (1 – q) = 10 / (1 – 3/4) = 10 / (1/4) = 40 mét.
Quãng đường nảy lên gồm các độ cao: 10 * (3/4), 10 * (3/4)^2, … Đây cũng là một cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu u1 = 10 * (3/4) = 7.5 và công bội q = 3/4.
Tổng quãng đường nảy lên là: S_nay = u1 / (1 – q) = 7.5 / (1 – 3/4) = 7.5 / (1/4) = 30 mét.
Tổng quãng đường quả bóng đã di chuyển là: S = S_roi + S_nay = 40 + 30 = 70 mét.