Công Thức Cấp Số Nhân: Khái Niệm, Số Hạng Tổng Quát

Trong chương trình Toán học phổ thông, cấp số nhân là một trong những chuyên đề quan trọng và xuất hiện thường xuyên trong các kỳ thi. Việc nắm vững khái niệm, công thức cấp số nhân cũng như các dạng bài tập liên quan sẽ giúp bạn dễ dàng “ăn trọn” điểm số ở phần này.

Bài viết này sẽ tổng hợp toàn bộ kiến thức từ cơ bản đến nâng cao về cấp số nhân một cách chi tiết và dễ hiểu nhất!

Cấp số nhân là gì?

Về mặt toán học, cấp số nhân cấu thành từ một tập hợp số mà ở đó, mỗi số hạng từ vị trí thứ hai trở đi đều là kết quả của phép nhân giữa số hạng ngay trước nó và hằng số q duy nhất. Trong hệ thống lý thuyết, số q này được gọi là công bội.

Như vậy, nếu (un) là một cấp số nhân với công bội q, ta có công thức truy hồi:

u(n+1) = un * q (với n >= 1)

Ví dụ thực tế: > Cho dãy số: 2, 6, 18, 54, 162,…

Ta thấy: 6 = 2 * 3; 18 = 6 * 3; 54 = 18 * 3,…

Đây là một cấp số nhân với số hạng đầu u1 = 2 và công bội q = 3.

Các công thức cấp số nhân cần nhớ nằm lòng

Để giải được các bài tập từ cơ bản đến vận dụng cao, bạn cần thuộc lòng 4 công thức cốt lõi sau đây:

Công thức tính số hạng tổng quát

Để tìm một số hạng bất kỳ tại vị trí thứ n mà không cần liệt kê toàn bộ dãy số, ta dùng công thức:

un = u1 * q^(n-1) (với n >= 2)

Trong đó:

un: Số hạng thứ n (số hạng tổng quát).

u1: Số hạng đầu tiên.

q: Công bội.

^: Ký hiệu cho số mũ (lũy thừa).

Tính chất của các số hạng trong cấp số nhân

Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) bằng tích của hai số hạng kề bên nó.

(uk)^2 = u(k-1) * u(k+1) (với k >= 2)

Hoặc có thể viết dưới dạng căn thức: |uk| = căn bậc hai của (u(k-1) * u(k+1))

Công thức tính tổng n số hạng đầu tiên (Sn)

Để tính tổng của n số hạng đầu tiên trong cấp số nhân (Sn = u1 + u2 + … + un), ta xét 2 trường hợp của công bội q:

Trường hợp q = 1: Dãy số có dạng u1, u1, u1,… suy ra: Sn = n * u1

Trường hợp q khác 1: Sn = u1 * (1 – q^n) / (1 – q)

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Nếu một cấp số nhân có công bội q thỏa mãn trị tuyệt đối của q nhỏ hơn 1 (|q| < 1), thì cấp số nhân đó được gọi là lùi vô hạn. Tổng của tất cả các số hạng trong cấp số nhân lùi vô hạn được tính bằng công thức:

S = u1 / (1 – q)

Bảng tổng hợp các công thức cấp số nhân nhanh

Tên công thức	Công thức chuẩn	Điều kiện áp dụng
Công thức truy hồi	u(n+1) = un * q	n >= 1
Số hạng tổng quát	un = u1 * q^(n-1)	n >= 2
Tính chất số hạng	(uk)^2 = u(k-1) * u(k+1)	k >= 2
Tổng n số hạng đầu	Sn = u1 * (1 – q^n) / (1 – q)	q khác 1
Tổng lùi vô hạn	S = u1 / (1 – q)	|q| < 1

Các dạng bài tập cấp số nhân thường gặp (Có lời giải)

Dạng 1: Tìm số hạng đầu u1 và công bội q

Đề bài: Cho cấp số nhân (un) thỏa mãn hệ phương trình:

u4 – u2 = 72

u5 – u3 = 144

Tìm số hạng đầu u1 và công bội q.

Lời giải:

Biến đổi các số hạng theo u1 và q:

u2 = u1 * q

u3 = u1 * q^2

u4 = u1 * q^3

u5 = u1 * q^4

Thay vào hệ phương trình ta được:

u1 * q^3 – u1 * q = 72 suy ra: u1 * q * (q^2 – 1) = 72 (Phương trình 1)

u1 * q^4 – u1 * q^2 = 144 suy ra: u1 * q^2 * (q^2 – 1) = 144 (Phương trình 2)

Lấy Phương trình (2) chia cho Phương trình (1) vế theo vế, ta được:

[u1 * q^2 * (q^2 – 1)] / [u1 * q * (q^2 – 1)] = 144 / 72

Suy ra: q = 2

Thay q = 2 vào Phương trình (1):

u1 * 2 * (2^2 – 1) = 72

u1 * 2 * 3 = 72

u1 * 6 = 72

Suy ra: u1 = 12

Kết luận: Số hạng đầu u1 = 12 và công bội q = 2.

Dạng 2: Tính tổng n số hạng đầu tiên

Đề bài: Cho cấp số nhân có số hạng đầu u1 = 3 và công bội q = 2. Tính tổng 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân này.

Lời giải:

Áp dụng công thức tính tổng Sn với n = 10, u1 = 3, q = 2:

S10 = 3 * (1 – 2^10) / (1 – 2)

S10 = 3 * (1 – 1024) / (-1)

S10 = 3 * (-1023) / (-1)

S10 = 3069

Kết luận: Tổng 10 số hạng đầu tiên là 3069.

 

Mẹo ghi nhớ và lưu ý tránh sai sót khi làm bài

Phân biệt với cấp số cộng: Hãy nhớ cấp số cộng là phép cộng (cộng thêm công sai d), còn cấp số nhân là phép nhân (nhân thêm công bội q).

Cần thận dấu của q: Công bội q có thể là số âm. Khi q < 0, các số hạng trong dãy số sẽ đan dấu nhau (dương, âm, dương, âm…). Hãy chú ý đóng mở ngoặc khi tính lũy thừa số âm.

Điều kiện cấp số nhân lùi vô hạn: Chỉ áp dụng công thức S = u1 / (1 – q) khi và chỉ khi trị tuyệt đối của q nhỏ hơn 1 (|q| < 1).

Lời kết

Hy vọng bài viết này đã giúp bạn hệ thống lại toàn bộ công thức cấp số nhân một cách trực quan và dễ hiểu nhất. Đừng quên luyện tập thêm nhiều bài tập để sử dụng thành thạo các công thức này nhé. Chúc các bạn học tốt và đạt điểm cao trong các kỳ thi!