Định Nghĩa Cấp Số Nhân, Tổng Hợp Công Thức Cấp Số Nhân

Định nghĩa cấp số nhân

Cấp số nhân là một dãy số trong đó mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai trở đi) đều bằng số hạng trước đó nhân với một hằng số, gọi là công bội (ký hiệu là q).

Cấp số nhân có thể có số hạng dương, âm, hoặc bằng 0 tuỳ thuộc vào giá trị của số hạng đầu và công bội.

Công thức cấp số nhân

– Công thức truy hồi: un = un-1 . q với n ∈ N*

– Công thức số hạng tổng quát: un = u1 . qn – 1 với ∀n ∈ N, n ≥ 2

– Ba số hạng uk – 1, uk, uk + 1 là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng khi và chỉ khi uk2 = uk-1.uk+1 với k ≥ 2

Học sinh trong giờ toán

Tính chất của cấp số nhân

Cấp số nhân có một số tính chất sau:

Tính chất 1: Nếu Un là 1 cấp số nhân thì từ số hạng thứ 2, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng cuối cùng với cấp số nhân hữu hạn) bằng tích của số đứng sau và đứng trước liền kề.

Công thức: (Uk)2 = Uk-1 . Uk+1

Ví dụ:

Cho cấp số nhân (Un) trong đó U3 = 4, U5 = 16. Tìm U4 của cấp số nhân?

Đáp án:

Áp dụng công thức: (Uk)2 = Uk-1 . Uk+1

=> U42 = U3 . U5

=> U42 = 4 . 16

=> U4 = 8

Vậy U4 của cấp số nhân là 8

Tính chất 2: Công bội đặc biệt

Nếu q = 0: cấp số nhân có dạng U1, 0, 0, 0, 0, 0…
Nếu q = 1: cấp số nhân có dạng U1, U1, U1, U1, U1…
Nếu q < 0: cấp số nhân là dãy số không giảm, không tăng
Nếu q < 1 và q > 0: cấp số nhân (Un) là dãy số giảm
Nếu q > 1: cấp số nhân (Un) là dãy số tăng
Nếu U1 = 0: cấp số nhân có dạng 0, 0 ,0 ,0 ,0, 0…

>> Xem thêm: Tính diện tích hình chữ nhật

Học sinh cấp 3 trao đổi giờ ra chơi

Ứng dụng của Cấp số nhân và Cấp số cộng trong thực tế

Cấp số nhân có rất nhiều ứng dụng trong thực tế, đặc biệt trong các lĩnh vực tài chính, kinh tế, khoa học và công nghệ. Dưới đây là một số ứng dụng phổ biến:

Lãi suất kép trong tài chính:

Lãi suất kép là ví dụ điển hình của công thức cấp số nhân. Khi bạn gửi tiền vào ngân hàng với lãi suất kép, số tiền bạn có sau một số kỳ hạn không chỉ tính trên số tiền gốc mà còn tính trên lãi đã sinh ra. 

Sự phát triển dân số:

Tăng trưởng dân số thường được mô tả bằng cấp số nhân nếu tốc độ sinh sản ổn định qua các thế hệ. Khi dân số của một quốc gia hoặc khu vực tăng trưởng theo tỷ lệ cố định (tỷ lệ sinh hoặc tỷ lệ tăng dân số cố định), số dân sẽ tăng theo cấp số nhân:

Suy giảm phóng xạ:

Trong vật lý hạt nhân, sự phân rã phóng xạ của các nguyên tử cũng tuân theo quy luật công thức cấp số nhân.

Sự tăng trưởng của công nghệ và dữ liệu:

Sự phát triển của công nghệ và tốc độ sinh dữ liệu cũng thường được mô tả theo cấp số nhân. Ví dụ, Định luật Moore cho thấy số lượng transistor trên một vi mạch tăng gấp đôi sau mỗi khoảng thời gian nhất định, làm cho hiệu suất của vi xử lý cũng tăng trưởng theo cấp số nhân.

Chuỗi cung ứng và sản xuất:

Trong một số ngành công nghiệp, sản lượng hoặc nhu cầu có thể tăng hoặc giảm theo công thức cấp số nhân. Ví dụ, nếu một doanh nghiệp mở rộng quy mô sản xuất với tốc độ nhân đôi sau mỗi kỳ, số lượng sản phẩm sẽ tăng theo cấp số nhân.

Các công thức toán học

Tăng trưởng của virus và dịch bệnh:

Trong các mô hình lây lan dịch bệnh (như COVID-19), sự lây lan ban đầu của virus có thể theo mô hình cấp số nhân, nơi mỗi người nhiễm bệnh có thể lây nhiễm cho nhiều người khác, làm tăng số lượng người nhiễm theo công thức cấp số nhân.

Các mô hình tiết kiệm và đầu tư:

Trong các kế hoạch tiết kiệm hoặc đầu tư, các khoản đóng góp đều đặn với lãi suất kép sẽ làm cho số tiền tiết kiệm hoặc đầu tư tăng trưởng theo công thức cấp số nhân. Đây là một ứng dụng phổ biến trong tài chính cá nhân và kế hoạch hưu trí.

Các ứng dụng của công thức cấp số nhân trong thực tế thường liên quan đến các hiện tượng có tính chất phát triển nhanh chóng hoặc suy giảm dần với tốc độ theo tỷ lệ. Điều này giúp giải thích và dự đoán các xu hướng dài hạn trong nhiều lĩnh vực khác nhau.

>> Tham khảo: Tủ bếp gỗ tự nhiên hiện đại